Integrales trigonometricas, funciones parciales

Integrales trigonométricas
∫sen^n x dx ∫cos^n x dx
n = par positivo
sen^2 x=1/2(1-cos⁡ 2x)
cos^2 x=1/2(1-cos⁡ 2x)

sen^2x+cos^2 x=1
2.∫sec^n x dx ∫css^n x dx
n = es par u =tanx
sec^2 x=1+tan^2
U=cotx
csc^2 x=1+ctg^2
3.∫sec^n x.tan^m xdx ∫css^n x cot^m x dx
U=secx U= cscx

Sustitución trigonométrica
1.√(a^2-x^2)
2 .√(x^2-a^2)
3.√(x^2+ax^2)

1.senθ=x/a a senθ=x
2.secθ=x/a a secθ=x
2.tanθ=x/a a tanθ=x

Fracciones Parciales

px/((x-Q_1)(x-Q_2)(x-Q_n))=A_1/(x-Q_1 )+A_2/(x-Q_2 )+⋯+A_n/(x-Q_n )
px/(x-Q_1 〖x-Q_(1 )〗^n )=A_1/(x-Q_1 )+A_1/x-Q_(1 )^n
px/(〖(a〗_1 x^2+bx+c)〖…(a〗_n x^2+bn+c) )=(a_1 x+b_1)/((a_1 x^2+bx+c))+(a_n x+b_n)/(〖(a〗_n x^2+bn+c))


Ejemplo
∫▒(x+1)/(x^3-1) dx=∫▒(x+1)/(〖x+1(x〗^2+x+1)) dx
=(x+1)/(〖x-1(x〗^2+x+1))=A/(x-1)+(Bx+c)/(x^2+x+1)=(A(x^2+x+1)+Bx+c(x-1))/((x-1)(x^2+x+1))
(x+1)/(〖x-1(x〗^2+x+1))=(A(x^2+x+1)+Bx+c(x-1))/((x-1)(x^2+x+1))
x+1=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+cx-c
x+1=(A+B) x^2+(A-B+C)x+(A-C)
Hacemos una comparación de lado y lado para formar un sistema de ecuaciones para luego formar algo parecido a una matriz, y asi poder sacar el valor de A,B,C.
0=(A+B)
1=(A-B+C)
1=(A-C)
Utilizamos el método que prefiramos para hallar A,B,C.
1=(A-B+C) 0=(A+B) 1=(2/3-C)
1=(A-C) 2=(2A-b) C=(2/3-1)
2=(2A-b) 2=(3A) C=(-1/3)
2=(2 2/3-b) 2/3=A
2=(4/3-b)
b=(4/3-2)
b=(-2/3)

Luego utilizando las fracciones parciales y con los datos obtenidos podemos hallar la integral
∫▒〖(2/3)/((x-1)) dx+ ((-2/3 x)-1/3)/(x^2+x+1) dx=2/3 ∫▒〖1/((x-1)) dx-〗〗 1/3 ∫▒〖(2x+1)/(x^2+x+1) dx〗
Como si no podemos hacer la integración sustituimos ara poder lograr la integración.
w=x^2+x+1
dw=2x+1 dx
=2/3 ln|x-1|- ∫▒dw/w=2/3 ln|x-1|-1/3 ln|2x+1|+c