Propiedades de suma de Riemman

Propiedades para la suma de Riemann

∑_(i=1)^n c=c∑_(i=1)^n=nc

∑_(i=1)^n c a_i=c∑_(i=1)^n a_i

∑_(i=1)^n(a_i±b_i)=∑_(i=1)^n a_i ±∑_(i=1)^n b_i

∑_(i=1)^n(i)=1+2+3+...+n(n+1)/2

∑_(i=1)^n(i^2)=(n(n+1)(2n+1))/6

∑_(i=1)^n(i^3)=[n(n+1)/2]^2

Ejemplo

Sea la ecuación f(x)=x^3-6x calcular ∫_0^3x^3-6x dx

Primero graficamos como a continuación sacando los puntos de corte

I_y=(0,0)

I_x=(0,0),(-√6,0),(√6,0)

0=x^3-6x

0=(x^2-6)x

0=(x-√6)(x+√6)x

x=0  x=-√6  x=√6

Sacamos los puntos derivando la ecuación original

f´(x)=3x^2-6

0=3x^2-6

6=3x^2

6/3=x^2

√(6/3)=x

√2=x

Δx=(b-a)/n=(3-0)/n=3/n

x_i^*=a+iΔx=o+i(3/n)=3i/n

f(x_i^*)=f(3i/n)

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n(3i/n) (3/n)  Con la ecuación que hayamos remplazamos n los valores de la primera ecuación que es  f(x)=x^3-6x

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n[(3i/n)^3-6(3i/n)](3/n)

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n[(27i^3)/n^3 -18i/n](3/n)

=lim┬(n-∞)81/n^4⁡∑_(i=1)^n i^3-lim┬(n-∞)54/n^2 ∑_(i=1)^n i┬

Temas Varios

Temas a tratar

Anti derivadas

Métodos de integración

Aéreas y volúmenes

Sucesión y series

Convergencia de series

Anti derivada

Es el método contrario de derivar, se llama de otra forma integrar

dy/dx=2x

∫dy=2∫x dx

y+c=(2x^2)/2

y=x^2+ c

Formulas De Integrales

Aquí podrán encontrar formulas las cuales esperamos que sirvan para lograr hacer los ejercicios.

Derivada                                               Integral
1.dy/dx(x)=1                                             ∫1 dx=x+c

2.dy/dx(e^x)=e^x                                     ∫e^x dx=e^x+c

3.dy/dx(sen x)=cos⁡x                                ∫cos⁡x dx =sen x+c

4.dy/dx(cos x)=-sen ⁡x                             -∫sen⁡x dx=-cos x+c

5.dy/dx(ln⁡x)=1/x                                        ∫(1/x)dx=ln|x|+c

6.dy/dx(x^n)=nx^(n-1)                              ∫x^n dx=x^(n-1)/(n+1)+c

7.dy/dx(c)=0                                             ∫0 dx=c

8.dy/dx(sec x)=secx tan⁡x                        ∫sec⁡x tan⁡x ⁡dx=sec x+c

9.dy/dx(tan x)=sec^2⁡x                             ∫sec^2⁡x⁡ dx=tan x+c∫tan^2⁡x⁡ dx=tanx+x+c

10.dy/dx(csc x)=-cscx cotx                    -∫csc⁡x cotx⁡ dx=-cscx +c

11.dy/dx(cot x)=-csc^2⁡x                         -∫csc^2⁡x⁡ dx=-cot x+c

12.dy/dx sen^(-1)⁡x dx=1/√(1-x^2)+c      ∫1/√(1-x^2)⁡dx=sen^(-1)⁡x+c

13.dy/dx tan^(-1)⁡x⁡ =1/(1-x^2)+c             ∫1/(1-x^2)⁡dx=tan^(-1)⁡x+c

14.dy/dx sec^(-1)⁡x=1/(|x|√(x^2-1))+c     ∫1/(|x|√(x^2-1))dx=sec^(-1)⁡x+c

15.∫sec⁡x dx=ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+c

16.∫csc⁡x dx=ln⁡|csc⁡x+cot⁡x|+c

17.∫cot⁡x dx=ln⁡|sen⁡x|+c

Ejemplos

∫(x^3+1)/(x+1)dx=∫((x^2-x+1)(x+1))/(x+1)dx=∫x^2-x+1dx=x^3/3-x^2/2+x+c

Encuentre la función f(x) que satisface las siguientes condiciones

f´´´(x)=x+√x

f´´(0)=1, f´(1)=2, f(1)=1

f´´´(x)=x+√x

f´´(x)=∫x+√x)dx Sacamos integral para poder eliminar una prima

f´´(x)=∫x dx+∫√x dx Separamos la integral

f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+c Llevamos a cabo la integral y agregamos C la constante

Como nos dice que f´´(0)=1 reemplazamos en la ecuación f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+c x por 0 y sale que

1=c

f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+1 Después hacemos la integral para quitar una prima

f´´(x)=∫x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+1 dx

f´(x)=∫x^2/2 dx+∫x^(3/2)/(3/2) dx+∫1 dx

f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+c

Igual que el paso anterior sabemos que f´(1)=2 reemplazamos en la ecuación f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+c e igualamos después

2=1/6+4/15 +1+c

17/30=c Con este resultado remplazamos en la ecuación anterior

f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+17/30 Volvemos a integrar para quitar la prima de la ecuación

f´(x)=∫x^3/6+4/15x^(5/2)+x+17/30 dx

f´(x)=∫x^3/6+∫4/15x^(5/2)dx+∫x dx+∫17/30 dx

f(x)=x^4/24+8/105x^(7/2)+x^2/2+17/30x+c Procedemos igual e igualamos sabiendo que f(1)=1 y reemplazamos en la ecuación anterior

1/24+8/105+1/2+17/30+c=1

c=-31/168

f(x)=x^4/24+8/105x^(7/2)+x^2/2+17/30x-31/168 Este es el resultado que nos pedían

∫(1-1/x^2)(√(x√x))dx=∫(√(x√x)-√(x√x)/x^2)⁡dx =∫(x.x^(1/2))^(1/2)-(x.x^(1/2) )^(1/2)/x^2 dx

=∫x^(3/4)dx-∫x^(3/4)/x^2dx=4/7x^(7/4)+∫x^(-5/4)dx=4/7x^(7/4)+4x^(-1/4)+c

Otra importante ecuación es ∫a^x dx=1/lna a^x+c

Ejemplo

∫3^x e^x dx=1/(ln(3e)^x)(3e)^x+c

A continuación hay un ejemplo de aplicación de las integrales

Ejemplo

Una fabrica ha sido creada y después de x años crece a razón de 0.5+1/(x+1)^2 por año, cuento abra crecido la fabrica durante el segundo año.

dy/dx=0.5+1/((x+1)^2)

∫dy=∫(0.5+1/((x+1)^2))dx

Hacemos una sustitución para lograr poder hacer la integración

z=x+1

Derivamos la sustitución y reemplazamos en la ecuación

dz=dx

∫dy=∫(0.5+1/((z)^2))dz

∫dy=∫(0.5+(z)^(-2))dz

y=0.5x+∫(z)^(-2)dz

y=0.5x+(z)^(-1)+c

y=0.5x-1/(x+1)+c

Integración por Partes

∫u dv=u.v-∫v du

Ejemplo

∫arcsen x dx=

U dv

u=arcsen x dv=dx

du= 1/(x+1) v=x

∫arcsen x dx=(x)arcsen x.-∫1/√(1-x^2)x dx

Ahora hacemos una sustitución

u^2=1-x^2

2u du=-2x dx

u du=-x dx

=(x)arcsen x.-∫1/√(1-x^2)x dx=(x)arcsen x.-∫(-u)/u du=

=(x)arcsen x.-∫(-u)/u du =(x)arcsen x+∫du=(x)arcsen x+u+c=(x)arcsen x+arcsen x+c