Propiedades de suma de Riemman

Propiedades para la suma de Riemann

∑_(i=1)^n c=c∑_(i=1)^n=nc

∑_(i=1)^n c a_i=c∑_(i=1)^n a_i

∑_(i=1)^n(a_i±b_i)=∑_(i=1)^n a_i ±∑_(i=1)^n b_i

∑_(i=1)^n(i)=1+2+3+...+n(n+1)/2

∑_(i=1)^n(i^2)=(n(n+1)(2n+1))/6

∑_(i=1)^n(i^3)=[n(n+1)/2]^2

Ejemplo

Sea la ecuación f(x)=x^3-6x calcular ∫_0^3x^3-6x dx

Primero graficamos como a continuación sacando los puntos de corte

I_y=(0,0)

I_x=(0,0),(-√6,0),(√6,0)

0=x^3-6x

0=(x^2-6)x

0=(x-√6)(x+√6)x

x=0  x=-√6  x=√6

Sacamos los puntos derivando la ecuación original

f´(x)=3x^2-6

0=3x^2-6

6=3x^2

6/3=x^2

√(6/3)=x

√2=x

Δx=(b-a)/n=(3-0)/n=3/n

x_i^*=a+iΔx=o+i(3/n)=3i/n

f(x_i^*)=f(3i/n)

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n(3i/n) (3/n)  Con la ecuación que hayamos remplazamos n los valores de la primera ecuación que es  f(x)=x^3-6x

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n[(3i/n)^3-6(3i/n)](3/n)

=lim┬(n-∞)⁡∑_(i=1)^n[(27i^3)/n^3 -18i/n](3/n)

=lim┬(n-∞)81/n^4⁡∑_(i=1)^n i^3-lim┬(n-∞)54/n^2 ∑_(i=1)^n i┬

Temas Varios

Temas a tratar

Anti derivadas

Métodos de integración

Aéreas y volúmenes

Sucesión y series

Convergencia de series

Anti derivada

Es el método contrario de derivar, se llama de otra forma integrar

dy/dx=2x

∫dy=2∫x dx

y+c=(2x^2)/2

y=x^2+ c

Formulas De Integrales

Aquí podrán encontrar formulas las cuales esperamos que sirvan para lograr hacer los ejercicios.

Derivada                                               Integral
1.dy/dx(x)=1                                             ∫1 dx=x+c

2.dy/dx(e^x)=e^x                                     ∫e^x dx=e^x+c

3.dy/dx(sen x)=cos⁡x                                ∫cos⁡x dx =sen x+c

4.dy/dx(cos x)=-sen ⁡x                             -∫sen⁡x dx=-cos x+c

5.dy/dx(ln⁡x)=1/x                                        ∫(1/x)dx=ln|x|+c

6.dy/dx(x^n)=nx^(n-1)                              ∫x^n dx=x^(n-1)/(n+1)+c

7.dy/dx(c)=0                                             ∫0 dx=c

8.dy/dx(sec x)=secx tan⁡x                        ∫sec⁡x tan⁡x ⁡dx=sec x+c

9.dy/dx(tan x)=sec^2⁡x                             ∫sec^2⁡x⁡ dx=tan x+c∫tan^2⁡x⁡ dx=tanx+x+c

10.dy/dx(csc x)=-cscx cotx                    -∫csc⁡x cotx⁡ dx=-cscx +c

11.dy/dx(cot x)=-csc^2⁡x                         -∫csc^2⁡x⁡ dx=-cot x+c

12.dy/dx sen^(-1)⁡x dx=1/√(1-x^2)+c      ∫1/√(1-x^2)⁡dx=sen^(-1)⁡x+c

13.dy/dx tan^(-1)⁡x⁡ =1/(1-x^2)+c             ∫1/(1-x^2)⁡dx=tan^(-1)⁡x+c

14.dy/dx sec^(-1)⁡x=1/(|x|√(x^2-1))+c     ∫1/(|x|√(x^2-1))dx=sec^(-1)⁡x+c

15.∫sec⁡x dx=ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+c

16.∫csc⁡x dx=ln⁡|csc⁡x+cot⁡x|+c

17.∫cot⁡x dx=ln⁡|sen⁡x|+c

Ejemplos

∫(x^3+1)/(x+1)dx=∫((x^2-x+1)(x+1))/(x+1)dx=∫x^2-x+1dx=x^3/3-x^2/2+x+c

Encuentre la función f(x) que satisface las siguientes condiciones

f´´´(x)=x+√x

f´´(0)=1, f´(1)=2, f(1)=1

f´´´(x)=x+√x

f´´(x)=∫x+√x)dx Sacamos integral para poder eliminar una prima

f´´(x)=∫x dx+∫√x dx Separamos la integral

f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+c Llevamos a cabo la integral y agregamos C la constante

Como nos dice que f´´(0)=1 reemplazamos en la ecuación f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+c x por 0 y sale que

1=c

f´´(x)=x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+1 Después hacemos la integral para quitar una prima

f´´(x)=∫x^2/2+x^(3/2)/(3/2)+1 dx

f´(x)=∫x^2/2 dx+∫x^(3/2)/(3/2) dx+∫1 dx

f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+c

Igual que el paso anterior sabemos que f´(1)=2 reemplazamos en la ecuación f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+c e igualamos después

2=1/6+4/15 +1+c

17/30=c Con este resultado remplazamos en la ecuación anterior

f´(x)=x^3/6+2/3 2/5x^(5/2)+x+17/30 Volvemos a integrar para quitar la prima de la ecuación

f´(x)=∫x^3/6+4/15x^(5/2)+x+17/30 dx

f´(x)=∫x^3/6+∫4/15x^(5/2)dx+∫x dx+∫17/30 dx

f(x)=x^4/24+8/105x^(7/2)+x^2/2+17/30x+c Procedemos igual e igualamos sabiendo que f(1)=1 y reemplazamos en la ecuación anterior

1/24+8/105+1/2+17/30+c=1

c=-31/168

f(x)=x^4/24+8/105x^(7/2)+x^2/2+17/30x-31/168 Este es el resultado que nos pedían

∫(1-1/x^2)(√(x√x))dx=∫(√(x√x)-√(x√x)/x^2)⁡dx =∫(x.x^(1/2))^(1/2)-(x.x^(1/2) )^(1/2)/x^2 dx

=∫x^(3/4)dx-∫x^(3/4)/x^2dx=4/7x^(7/4)+∫x^(-5/4)dx=4/7x^(7/4)+4x^(-1/4)+c

Otra importante ecuación es ∫a^x dx=1/lna a^x+c

Ejemplo

∫3^x e^x dx=1/(ln(3e)^x)(3e)^x+c

A continuación hay un ejemplo de aplicación de las integrales

Ejemplo

Una fabrica ha sido creada y después de x años crece a razón de 0.5+1/(x+1)^2 por año, cuento abra crecido la fabrica durante el segundo año.

dy/dx=0.5+1/((x+1)^2)

∫dy=∫(0.5+1/((x+1)^2))dx

Hacemos una sustitución para lograr poder hacer la integración

z=x+1

Derivamos la sustitución y reemplazamos en la ecuación

dz=dx

∫dy=∫(0.5+1/((z)^2))dz

∫dy=∫(0.5+(z)^(-2))dz

y=0.5x+∫(z)^(-2)dz

y=0.5x+(z)^(-1)+c

y=0.5x-1/(x+1)+c

Integración por Partes

∫u dv=u.v-∫v du

Ejemplo

∫arcsen x dx=

U dv

u=arcsen x dv=dx

du= 1/(x+1) v=x

∫arcsen x dx=(x)arcsen x.-∫1/√(1-x^2)x dx

Ahora hacemos una sustitución

u^2=1-x^2

2u du=-2x dx

u du=-x dx

=(x)arcsen x.-∫1/√(1-x^2)x dx=(x)arcsen x.-∫(-u)/u du=

=(x)arcsen x.-∫(-u)/u du =(x)arcsen x+∫du=(x)arcsen x+u+c=(x)arcsen x+arcsen x+c

Integral Definida.

¿Qué es esto?

-Es una página WEB que lleva incorporada APPLETs de JAVA para explicar la integral definida.

¿Qué debemos hacer para visualizarla?

-Para empezar debemos escoger el tema que deseamos ver en el indice.

¿Qué necesitamos, requerimientos de software?

-Es necesario un Navegador y un sistema operativo capaces de ejecutar Applets JAVA. NETSCAPE a partir de la versión 2 y Windows debe ser 95 o NT (MICROSOFT Internet Explorer 3.0, también).

¿Cuál es el objetivo?

-Es un programa didáctico para ayudar a aprender los conceptos ligados con la integral definida y el teorema fundamental del cálculo. 

Manual del usuario.

-Con NETSCAPE 3.0 y una resolución de pantalla VGA (640*480) no se visuliza todo el panel de los APPLETs. Desactivar las opciones: Show Toolbar, Show Location, Show Directory Buttons del menú Options para una mejor visualización. Si no, deberá utilitzarse la barra de desplazamiento situada en la derecha de la ventana (SCROLLBAR).

-IMPORTANTE la información que sale en la parte inferior de la pantalla es la que nos dice como debemos actuar. Básicamente, para avanzar hay que hacer clic en la parte derecha de l'APPLET, donde aparecen las gráficas.

-De vez en cuando el programa formulará preguntas. Deberán ser respondidas en el cuadro de edición que aparece. Para confirmar "clicar" en la parte derecha de la APPLET. Siempre ofrece dos oportunitades de responder a la pregunta. Si no la respondemos correctamente el programa nos explicará la solución.

Overview

-Empieza introduciendo el concepto de área a partir de la de polígonos.

-A continuación plantea el problema del cálculo del área del círculo y lo resuelve utilizando el método de exhausción (mediante la suma de las áreas de rectángulos).

-Expone el problema del cálculo del área de una figura no poligonal.

-Concreta el problema que pretende resolver el cálculo integral.

-Define la función área y demuestra gráficamente el teorema fundamental del cálculo.

-A continuación explica como se utiliza para contestar a la pregunta que realiza el cálculo integral, regla de Barrow.

-Acaba proponiendo unos ejercicios típicos de cálculo de áreas.

Indice

1: Cálculo del área de figuras conocidas

2: Área del círculo 1ª parte

3: Cálculo del área del círculo 2ª parte

4: ¿Cómo calcular el área de cualquier figura? 

5: Definición del problema del CÁLCULO INTEGRAL

6: Función área. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 

7: Regla de BARROW 

8:Ejercicios.

1: Calcula el área bajo la curva f(x)=x², limitada por x= 0 e x= 2. 

2: Calcula el área bajo la curva f(x)= x³ -2x+6, limitada por x= -1 e x= 2.

3: Calcula  el área de la región marcada, limitada por la función f(x)= -x²+2x, entre x = -1 y x = 4.
4: Calcula el área de la región limitada por la función f(x)= -x²+2x+4 y g(x)= x², entre a = -1 y b = 1.5 . 

propiedad de: http://www.xtec.cat/~jlagares/integral.esp/integral.htm#E1